חשבון מודולרי

מה השעה ארבע שעות אחרי השעה עשר?

כשאנו מחשבים חישוב כזה, אנו משתמשים בחשבון מודולרי (modular arithmetic). הוא דומה לחשבון רגיל, אך המספרים ״מסתובבים וחוזרים״ או מתחילים מחדש בהגיעם לערך מסוים, המכונה מודולוס (modulus). בשעון בן 12 שעות המודולוס הוא 12.

לעיתים קרובות אפשר להבין מבנים מוזיקליים בצורה הטובה ביותר באמצעות חשבון מודולרי. חשבו על סולם C מז׳ור: מתחילים ב־C, ואז D, E, F, G, וחוזרים ל־A, לפני B והחזרה ל־C. זו מערכת מחזורית שאפשר לכנות באופן ציורי ״מודולו־G״, שכן אחרי G חוזרים לתחילת האלפבית, A.

במוזיקה פוסט־טונלית, לאחר הנחת שקילות אוקטבית ואנהרמונית, הסביבה שלנו כוללת 12 מחלקות גובה צליל שונות, כמו 12 השעות בשעון. במרחב זה חשבון מודולרי הוא דרך מועילה מאוד לדמיין את המעבר בין המחלקות.

הספירה בעולם של מודולו 12 (modulo 12, או mod12) פועלת כמו בחשבון בסיסי — ״1, 2, 3, ...״ — אך אחרי 11 מתחילים מחדש ב־0. שימו לב: שעונים מתחילים ב־1 ומסתיימים ב־12, ואילו חשבון מודולרי מתחיל מחדש תמיד באפס. בכיוון ההפוך, בספירה יורדת ״10, 9, 8, ...״, אחרי 0 מגיע 11.

אף שאנו רגילים לדמיין מספרים על ישר אינסופי, החשיבה המודולרית מקפלת אותם למספר סופי של ערכים, המיוצג בדרך כלל במעגל. במעגל זה כל ערך הוא מספר בין 0 ל־11.

מרחב מחלקות גובה הצליל

חיבור וחיסור

לחיבור או לחיסור ב־mod12, בצעו את החישוב כרגיל, למשל 7 + 15 = 22, ואז הוסיפו או החסירו כפולות של 12 עד שתגיעו למספר בין 0 ל־11: 22 - 12 = 10.

חיבור וחיסור יכולים לייצג רעיונות מוזיקליים רבים: עלייה של שבעה חצאי טונים מ־D מביאה ל־A, כלומר 2 + 7 = 9; צירוף שני חצאי טונים ו־11 חצאי טונים נותן חצי טון אחד במודולו 12, 2 + 11 = 1. כלומר, מתחילים ב־C, עולים שני חצאי טונים ל־D, ועוד 11 ל־C♯ — חצי טון אחד מעל C המקורי מבחינת מחלקת גובה הצליל.

חשבון מודולרי הוא דרך מהירה לחשב מרווחים שונים בין גבהי צליל או מחלקות גובה צליל. דוגמאות:

מהי מחלקת המרווח ממחלקה 7, G, למחלקה 10, B♭? 10 - 7 = 3.

מהי מחלקת גובה הצליל הנמצאת חמישה חצאי טונים מעל B בקר, מחלקה 11? 11 + 5 = 4 במודולו 12, כלומר E.