מהלכי אקורדים משולשים בתאוריה הנאו־רימנית

תרגום לעברית בסיוע בינה מלאכותית מתוך Open Music Theory, גרסה 2. המלל ברישיון CC BY-SA 4.0; הקרדיטים הפרטניים לנכסים נשמרים. לפרק זה טרם הופקה קריינות. פרק המקור הרישיון

בסוף המאה התשע־עשרה השתמשו מלחינים לעיתים קרובות במהלכי משולשים המקשים על ניתוח מקובל באמצעות מספרים רומיים. בחנו את הקטע מן הקונצ׳רטו לכינור ולצ׳לו של בראהמס בדוגמה 1.

בדוגמה 2 מופיע צמצום של מהלך האקורדים בקטע. הוא מחבר שני משולשי A♭ מז׳ור, אך האקורדים שביניהם אינם שייכים לטונליות זו במובן מועיל לניתוח, ואינם מצייתים למוסכמות ההרמוניה התפקודית.

אפשר לפטור את הקטע כ״הרמוניה לא תפקודית״, אך בהאזנה ניכרת בו חוקיות מסוימת. Richard Cohn שואל: אם מוזיקה המבוססת על משולשים אך ללא תפקידים הרמוניים מוגדרים אינה קוהרנטית לחלוטין לפי עקרונות הטונליות הדיאטונית, אילו עקרונות אחרים עשויים להסביר את הקוהרנטיות שלה? (1998, עמ׳ 169; פרפרזה על דבריו).

טרנספורמציות נאו־רימניות

התאוריה הנאו־רימנית מתארת חיבור בין משולשים מז׳וריים ומינוריים ללא הקשר טונלי. דוגמה 3 מציגה את שלוש הפעולות הבסיסיות. כל פעולה שומרת שני צלילים משותפים במשולש ומשנה את המודוס שלו.

• טרנספורמציית R, היחסי, שומרת את הטרצה הגדולה במשולש ומניעה את הצליל הנותר בטון שלם.
• טרנספורמציית P, המקביל, שומרת את הקווינטה הזכה במשולש ומניעה את הצליל הנותר בחצי טון.
• טרנספורמציית L, חילוף הצליל המוביל, שומרת את הטרצה הקטנה במשולש ומניעה את הצליל הנותר בחצי טון.

כל טרנספורמציה היא מעבר הלוך ושוב בין שני אקורדים. אפשר להשוות זאת למקש Caps Lock, המחליף בין אותיות קטנות לגדולות. בעת הקלדה באותיות קטנות, לחיצה עליו מעבירה לאותיות גדולות. לחיצה נוספת מחזירה לאותיות קטנות, ולא למצב שלישי.

בדומה לכך, הפעלת L על משולש C מז׳ור יוצרת E מינור. הפעלת L על E מינור מחזירה ל־C מז׳ור. חזרות רצופות על אותה טרנספורמציה מחליפות אפוא בין שני אקורדים, כפי שמוצג בדוגמה 4.

רוב מלחיני המאה התשע־עשרה לא כתבו מהלכים החוזרים שוב ושוב על אותה טרנספורמציה. עם זאת, הטכניקה מופיעה ביצירות מן המאה העשרים, כגון ״O Superman״ של Laurie Anderson, המשתמשת בטרנספורמציות L רצופות לאורך היצירה. הפניות: [1]

הטוננץ (Tonnetz)

דוגמה 5 מציגה טוננץ: ייצוג חזותי של גבהי צליל, המסודרים כך שקווינטות זכות נקראות משמאל לימין, טרצות גדולות באלכסון משמאל למעלה לימין למטה, וטרצות קטנות באלכסון משמאל למטה לימין למעלה. שלושה גבהי צליל בכל משולש יוצרים אקורד משולש מז׳ורי או מינורי. כאן הוא מוצג כמישור שטוח ומוגבל, אך מבחינה תאורטית, ללא שקילות אנהרמונית הטוננץ נמשך לאינסוף; עם שקילות אנהרמונית הוא יוצר משטח בצורת טורוס, מעין טבעת. הפניות: [1]

אפשר להמחיש טרנספורמציות נאו־רימניות באמצעות הפיכת משולש מעבר לאחת משלוש צלעותיו.

• טרנספורמציית P הופכת את המשולש מעבר לצלע שעל קו הקווינטות הזכות, משמאל לימין.
• טרנספורמציית R הופכת את המשולש מעבר לצלע שעל קו הטרצות הגדולות, משמאל למעלה לימין למטה.
• טרנספורמציית L הופכת את המשולש מעבר לצלע שעל קו הטרצות הקטנות, מימין למעלה לשמאל למטה.

דוגמה 6 מציגה כל טרנספורמציה בטוננץ. P על משולש C מז׳ור בעל הצלעות האדומות הופכת אותו מעבר לצלע C–G ל־C מינור. L הופכת אותו מעבר לצלע G–E ל־E מינור, ו־R מעבר לצלע C–E ל־A מינור. כשמתחילים במשולש מינורי, כגון G מינור המסומן בירוק, כל ההפיכות הן בכיוונים ההפוכים. כעת אפשר להבין את מהלך האקורדים בקונצ׳רטו לכינור ולצ׳לו של בראהמס: דוגמה 7 מראה כיצד שני משולשי A♭ מז׳ור מחוברים בסדרת טרנספורמציות P ו־L.

הקטע מהקונצ׳רטו נע לאורך עמודת משולשים כלפי מעלה, מן הפינה הימנית התחתונה של הטוננץ בדוגמה 8. בנקודת ההתחלה יש לפרש מחדש אנהרמונית את משולש G♯ מז׳ור כ־A♭ מז׳ור.

הטוננץ מועיל להמחשת הקרבה בין משולשים מז׳וריים ומינוריים: המשולשים של טונליות מסוימת סמוכים זה לזה, וטונליות הרחוקות זו מזו רחוקות גם בטוננץ. הוא גם מסייע לדמיין מהלכי אקורדים מעניינים שלא בהכרח הייתם חושבים עליהם אילו הגבלתם את עצמכם לתחביר הטונלי המקובל.

שרשרות ומחזורים של טרנספורמציות

אפשר להשתמש בתאוריה הנאו־רימנית ליצירה או לניתוח של כמעט כל מהלך אקורדים, אך מלחינים התמקדו לעיתים קרובות בשרשרות היוצרות מחזורים סגורים של משולשים. מחזור מתחיל ומסתיים באותו אקורד ומקיים תבנית טרנספורמציות מוגדרת, בדומה לסקוונצה. המהלך בדוגמת בראהמס הוא מחזור PL: הוא מחליף בין P ל־L ומתחיל ומסתיים באותו אקורד.

יש שלושה מחזורים אפשריים המשתמשים בשתי טרנספורמציות: PL, RP ו־RL. בדוגמה 9 המחזורים PL ו־RP נסגרים אחרי מספר קטן יחסית של פעולות: שש ב־PL ושמונה ב־RP.

לעומת זאת, מחזור RL בדוגמה 10 ארוך למדי: הוא עובר בכל 24 המשולשים המז׳וריים והמינוריים. מאחר שנדרשות פעולות רבות לסגירתו, לעיתים קרובות מתעלמים ממנו או מציגים גרסה מקוצרת.

מחזור ראוי לציון המשתמש בשלוש טרנספורמציות הוא PLR. כפי שמראה דוגמה 11, יש לבצע את רצף PLR פעמיים כדי לחזור לאקורד ההתחלתי.

מחזורי PL ו־RP יוצרים כל אחד סולם הכולל את כל צלילי המשולשים המרכיבים אותו. PL יוצר סולם הקסטוני, סולם סימטרי המחליף בין חצאי טונים לטרצות קטנות. RP יוצר סולם אוקטטוני, סולם סימטרי המחליף בין חצאי טונים לסקונדות גדולות. אפשר לחשוב על הסולמות כעל ״הצליל הכולל״ של המחזור. כל מחזור PLR מתרכז בגובה צליל יחיד, הנכלל בכל המשולשים במחזור.

כל המחזורים הללו מוצגים בדוגמה 12.

טרנספורמציות נוספות

שלושה סוגים נוספים של טרנספורמציות נאו־רימניות מופיעים ברפרטואר בתדירות המצדיקה דיון בהם.

• טרנספורמציית S, קיצור של Slide, היא במובן מסוים ההפך מ־P: היא מניעה בחצי טון את שני הצלילים היוצרים את הקווינטה הזכה במשולש ומשנה את המודוס שלו. [1] הפניות: [1]
• טרנספורמציית N, המכונה Nebenverwandt, מניעה בחצי טון את שני הצלילים היוצרים את הטרצה הקטנה במשולש, וגם היא משנה את המודוס שלו. פירוש המילה הגרמנית הוא ״קשור כשכן״, והיא מתארת את התנועה דמוית השכן של הטרצה. [2] הפניות: [1]
• טרנספורמציית H, המכונה Hexpole, מחברת משולש למשולש מן המודוס הנגדי במרחק טרצה, כאשר כל קול נע בחצי טון אחד. כך נוצרים הקטבים ההקסטוניים במחזור PL שתואר לעיל ומוצג בדוגמה 12. [3] הפניות: [1]

שלוש הטרנספורמציות הללו מוצגות בדוגמה 13.

אפשר לראות בכל הטרנספורמציות הללו צירופים של P, L ו־R הבסיסיות. למשל, אפשר לתאר H כ־PLP. למעשה, אפשר לתאר כל קשר בין שני משולשים מז׳וריים או מינוריים כצירוף טרנספורמציות: אפשר להגיע מכל משולש לכל אחר בחמישה צעדים או פחות. מעניינים במיוחד הצירופים המשתמשים בהולכת קולות חסכונית (parsimonious voice leading), שבה שום קול אינו נע ביותר מצעד. אפשר למצוא צירופים רבים נוספים; נסו בעצמכם.

רשתות נוספות של טרנספורמציות נאו־רימניות

אקורדים משולשים מוגדלים

המשולש המוגדל אינו חלק מן הטרנספורמציות הנאו־רימניות הבסיסיות, העוסקות רק במשולשים מז׳וריים ומינוריים, אך הוא מספק חוליה מועילה ביניהם, במיוחד בין משולשים המקושרים ב־R. ייתכן שהבחנתם ש־R שונה מ־P ומ־L: הצליל שאינו נשמר נע בה בשני חצאי טונים, לעומת חצי טון אחד באחרות. במובן מסוים, R דורשת פי שניים ״עבודה״. כאשר ממלאים את הפער בין שני משולשים המקושרים ב־R, מתקבל משולש מוגדל; ראו דוגמה 14.

העמימות של המשולש המוגדל מוסיפה אפשרויות. זהו אקורד סימטרי, בדומה לספטאקורד מוקטן, ולכן אפשר לכתוב אותו מחדש אנהרמונית כך שכל אחד מצליליו ישמש כשורש. למשל, משולש C המוגדל בדוגמה 14 יכול להיכתב גם כ־E מוגדל, E–G♯–B♯, או כ־A♭ מוגדל, A♭–C–E. לכן אפשר לפתור אותו לשלושה משולשים מינוריים שונים באמצעות תנועה של קול אחד בחצי טון, לפי פירוש השורש. דוגמה 15 מציגה את שלושת הפתרונות של C⁺.

בדומה לכך, אותו משולש מוגדל יכול להתחבר לשלושה משולשים מז׳וריים שונים באמצעות תנועה של קול אחד בחצי טון; ראו דוגמה 16.

דוגמה 17 מציגה את ארבעת המשולשים המוגדלים — בשל סימטריית האקורד יש רק ארבעה — ואת המשולשים המז׳וריים והמינוריים שאליהם הם יכולים להיפתר בתנועה של קול אחד בחצי טון. כל משולש מוגדל וששת המשולשים הקשורים אליו נקראים אזור וייצמן, על שם Carl Friedrich Weitzmann, שכתב בהרחבה על המשולש המוגדל וגמישותו בכמה חיבורים במאה התשע־עשרה. כל קו באזור וייצמן מייצג תנועה של צליל אחד במשולש בחצי טון אחד. במעבר ממשולש משמאל למשולש מימין אפשר למצוא כמה מהטרנספורמציות שכבר נדונו. R, S ו־N דורשות כל אחת תנועה כוללת של שני חצאי טונים, ואפשר להתוות כל אחת מהן דרך אזור וייצמן.

ריקוד הקוביות (Cube Dance)

זכרו שמחזורי LP, RP ו־PLR הם לולאות סגורות. תבניות חוזרות אלה מעניינות, אך עלולות להפוך למונוטוניות. האם אפשר ״לבצע מודולציה״ בין מחזורים? כאן נכנס המשולש המוגדל.

בחנו שוב את המשולשים המז׳וריים הקשורים לאזור וייצמן של C⁺: C, E ו־A♭. אלה אותם שלושה משולשים מז׳וריים במחזור PL המתחיל ב־C בדוגמה 12. המשולשים המינוריים באותו מחזור נמצאים באזור וייצמן אחר, של E♭⁺. הוספת משולשים מוגדלים למחזורי PL מרחיבה את קבוצת האקורדים האפשריים משישה לשמונה. במקום משושה, נציג כעת כל מחזור בקובייה; ראו דוגמה 18.

מחזור PL המתחיל ב־C נמצא בפינה הימנית העליונה בדוגמה 18. כל צלע בקובייה מייצגת תנועה של צליל אחד במשולש בחצי טון. כשהמשולשים עוברים ממז׳ור למינור, אלה טרנספורמציות P או L. המשולשים המוגדלים המתחברים למשולשים המז׳וריים והמינוריים נמצאים בקודקודים נגדיים של הקובייה, וגם הם מתחברים לכל משולש סמוך בתנועה של חצי טון אחד.

כיצד אפשר ״לבצע מודולציה״ ממחזור PL אחד לאחר? אותו משולש מוגדל מופיע בשתי קוביות שונות. במהלך בתוך מחזור PL אפשר ״לקפוץ״ למחזור סמוך דרך אחד משני המשולשים המוגדלים ולהמשיך במחזור החדש. כל קובייה מחוברת לשתי קוביות אחרות באמצעות משולש מוגדל. קשרים אלה מאפשרים ליצור מפה אחת של כל המשולשים המז׳וריים והמינוריים המחוברים בתנועה של חצי טון יחיד. Jack Douthett ו־Peter Steinbach הציגו זאת לראשונה ב־1998 וקראו לתרשים ״ריקוד קוביות״. הוא מוצג בדוגמה 19.

במודל ריקוד הקוביות אפשר להתחיל במחזור PL הכולל C ולעבור למחזור PL חדש דרך C⁺ או E♭⁺. כדי להגיע מ־C ל־D נדרשים שני מעברים בין מחזורים: דרך C⁺ ו־D♭⁺, או דרך E♭⁺ ו־D⁺. אף שהמחזורים האחרים אינם ניכרים בבירור בתרשים, אפשר להשתמש במשולשים מוגדלים למעבר גם בין מחזורי RP או PLR, ולמעשה בין כל קבוצת טרנספורמציות נאו־רימניות הכוללת R.

ריקוד הקוביות ממחיש את הקרבה בין משולשים מז׳וריים ומינוריים, אולי אף טוב מן הטוננץ. אם מודדים קרבה לפי המספר הכולל של חצאי הטונים הדרושים למעבר בין משולשים, התרשים מציב אקורדים שנראים קרובים מבחינה אינטואיטיבית סמוכים זה לזה, ואקורדים שנראים רחוקים במרחק גדול יחסית. ריקוד הקוביות וגם הטוננץ עושים זאת ללא התייחסות למרכז טונלי. לכן הם מועילים להסברת מהלכי אקורדים במוזיקה מן המאות התשע־עשרה, העשרים ואף העשרים ואחת, המבוססת על משולשים אך נמנעת מטונליות תפקודית. הדבר יכול לסייע מאוד בניתוח מוזיקה כזאת וגם בהלחנה.

• Cohn, Richard. 1996. “Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions.” Music Analysis 15, no. 1 (March): 9–40.
• Cohn, Richard. 1997. “Neo-Riemannian Operations, Parsimonious Trichords, and Their Tonnetz Representations.” Journal of Music Theory 41, no. 1 (Spring): 1–66.
• Cohn, Richard. 1998. “Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective.” Journal of Music Theory 42, no. 2 (Autumn): 167–80.
• Cohn, Richard. 1998. “Square Dances with Cubes.” Journal of Music Theory 42, no. 2 (Autumn): 283–96.
• Cohn, Richard. 2004. “Uncanny Resemblances: Tonal Signification in the Freudian Age.” Journal of the American Musicological Society 57, no. 2 (Summer): 285–323.
• Douthett, Jack, and Peter Steinbach. 1998. “Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition.” Journal of Music Theory 42, no. 2 (Autumn): 241–63.
• Engebretsen, Nora, and Per F. Broman. 2007. “Transformational Theory in the Undergraduate Curriculum – A Case for Teaching the Neo-Riemannian Approach.” Journal of Music Theory Pedagogy 21:39–69.
• Jarvis, Brian Edward. “Tonnetz Master.” https://brianedwardjarvis.com/MusicTheoryWebApps/tonnetz_master/tonnetz_master.html
• Mason, Laura Felicity. 2013. “Essential Neo-Riemannian Theory for Today’s Musician.” Master’s thesis, University of Tennessee, Knoxville. https://trace.tennessee.edu/utk_gradthes/1646.

1. דף עבודה על טרנספורמציות נאו־רימניות (.pdf, .mscz). ביצוע P, L, R, SLIDE, N ו־H על משולשים בודדים, מימוש שרשרות טרנספורמציות ומציאת שרשרת המחברת שני אקורדים. הפניות: [1] [2]
2. הלחנה באמצעות טרנספורמציות נאו־רימניות (.pdf, .mscz). שימוש בריקוד הקוביות ובמחזורים נאו־רימניים אחרים להלחנת סולו פסנתר מינימליסטי קצר. הפניות: [1] [2]

הערת עריכה: במקור כמה קישורי מונחים מובילים להגדרות של מונחים אחרים. כותרות ההגדרות של הסולם ההקסטוני ושל S ו־N הותאמו כאן לתוכן ההגדרה. מספור הדוגמאות וההפניה לדוגמה 7 נשמרו כפי שהם במקור, אף שהכיתוב הבא מסומן 8; נדרשת בדיקה נוספת של ההפניה.